Теория упругости как самостоятельная дисциплина возникла в XIX веке в результате усилий ряда выдающихся ученых. После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и теории деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Барре де Сен-Венана (1797—1886). Сен-Венан в классических работах по теории кручения и изгиба, опубликованных в 1855—1856 гг., дал на основе общих уравнений теории упругости решение задач изгиба и кручения призматических стержней. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, высказал знаменитый «принцип Сен-Венана», позволивший перейти к эффективному решению задач теории упругости, и разобрал большое число конкретных примеров. Задаче Сен-Венана (о растяжении, кручении и изгибе стержня силами, приложенными на торцах) посвящена огромная литература. Однако замечательные исследования Сен-Венана, сохраняющие и ныне свое научное значение, практически недоступны широкому кругу читателей, а на русском языке они полностью никогда не публиковались. В настоящей книге дается перевод двух мемуаров Сен-Венана.
Спойлер
СОДЕРЖАНИЕ:
Предисловие редактора перевода (5).
Жизнь и научная деятельность Б.Сен-Венана (9).
МЕМУАР О КРУЧЕНИИ ПРИЗМ с рассмотрением их изгиба, так же как и внутреннего равновесия упругих твердых тел, и с практическими формулами для расчета их сопротивления одновременному действию различных сил
Глава I. Предмет и введение (17).
§ 1. Прямые и обратные решения задач о твердых упругих телах (17).
§ 2. Смешанный, или полуобратный, метод (18).
Глава II. Формулы внутреннего равновесия упругих твердых тел. Краткое напоминание об их обосновании для перемещений произвольной величины (20).
§ 3. Средние перемещения малых молекулярных групп (20).
§ 4. Удлинения. Сдвиги (21).
§ 5. Условия, при которых даже значительные перемещения точек упругих тел не изменяют их связности. Очень малые сдвиги (23).
§ 6. Зависимости между сдвигами и удлинениями в различных направлениях. Изменение осей (24).
§ 7. Различные сдвиги относительно прямой или в различных направлениях относительно той же прямой. Главный сдвиг и т.д. (29).
§ 8. Зависимости удлинений и сдвигов от весьма малых перемещений (32).
§ 9. Давления. Их равнодействующая на различных гранях элемента. Их непрерывное изменение (35).
§ 10. Соотношения между давлениями на различные грани, имеющие центр в одной точке (36).
§ 11. Следствия. Изменение плоскостей давления. Плоскости, слегка наклоненные друг к другу (39).
§ 12. Зависимость составляющих давления от удлинений и сдвигов (42).
§ 13. Соображения о числе отличных друг от друга коэффициентов (45).
§ 14. Однородные тела (50).
§ 15. Тело с тремя плоскостями симметрии или главными плоскостями упругости (51).
§ 16. Выбор осей координат с целью приведения к одной двух касательных составляющих давления. Коэффициент упругости при сдвиге (54).
§ 17. Тело с одинаковой упругостью сдвига во всех направлениях, перпендикулярных к одной прямой или относительно этой прямой и во всех проходящих через нее плоскостях (56).
§ 18. Тело, в котором имеется ось упругости (57).
§ 19. Изотропное тело (60).
§ 20. Соотношения между давлениями и внешними или объемными силами (61).
§ 21. Неопределенные дифференциальные уравнения, справедливые во всех точках тела (63).
§ 22. Определенные уравнения, справедливые только в некоторых точках (65).
§ 23. Применение этих уравнений. Прямые, обратные и смешанные задачи (66).
§ 24. Условия сопротивления последующему разрушению или прогрессирующему и опасному изменению строения тела (66).
§ 25. Установление условий прочности. Опасные точки (72).
§ 26. Условия прочности, когда сдвиги равны нулю или пренебрежимо малы в трех направлениях: х, у, z (73).
§ 27. Условия прочности, когда рассматриваются только сдвиги (73).
§ 28. Различные виды разрушений (75).
Глава III. Применение теории в простом случае растяжения или сжатия призмы с произвольным основанием (77).
§ 29. Постановка задачи. Предварительное решение другой задачи, обратной по отношению к первой (77).
§ 30. Полное решение поставленной задачи (79).
§ 31. Перемещения, не являющиеся очень малыми (83).
§ 32. Более общая задача. Однородная призма без плоскости упругости (84).
§ 33. Применение этих выводов на практике (85).
Глава IV. Применение теории к изгибу призмы (88).
§ 34. Изгиб по дуге окружности. Смешанный, или полуобратный, метод, которым мы воспользуемся (88).
§ 35. Исследование выражений для перемещений (89).
§ 36. Давления. Изгибающий момент (93).
§ 37. Обобщение для случая, когда имеются продольные растяжения, равнодействующая которых не равна нулю и является постоянной (94).
§ 38. Решение предложенной задачи определения перемещений по силам (обратная или отчасти обратная задача по отношению к только что решенной) (95).
§ 39. Распространение этого решения на сколь угодно большой изгиб (96).
§ 40. Неравномерный, или некруговой, изгиб (97).
§ 41. Практические применения. Случай, когда сила или пара сил, изгибающая призму, действует в плоскости, параллельной одной из двух главных осей ее сечений (102).
§ 42. Случай, когда плоскость действия изгибающих сил расположена косо по отношению к главным осям сечений. Определение плоскости действительного изгиба и кривизны. Условие сопротивления (104).
§ 43. Новая форма контура сечения изогнутой призмы (107).
§ 44. Криволинейная форма и наклон к оси первоначально плоских и нормальных сечений при неравномерном, или некруговом, изгибе (111).
Глава V. О кручении призм. Общие дифференциальные уравнения (114).
§ 45. Постановка задачи. Условия, относящиеся как к перемещениям, так и к силам. Геометрическое определение движения при кручении (114).
§ 46. Обозначения, используемые в дальнейшем (вместе с обозначениями, приведенными в §§4, 6, 8, 11, 15, 18, 21, 22, 24, 27, 30, 36, 40) (115).
§ 47. Характеристические уравнения кручения или выражения для условий относительно перемещений (117).
§ 48. Выражения, относящиеся к силам, т.е. к внешним боковым давлениям (119).
§ 49. Предполагаемая неподвижность одной из точек оси и т.д. Приведение к случаю очень малых перемещений (120).
§ 50. Сдвиги. Крутящие моменты. Неопределенные и определенные уравнения (121).
§ 51. Упрощения для первых решений. Одинаковая упругость при сдвиге. Равенство нулю изгибов, а также продольных и поперечных удлинений (123).
Глава VI. Кручение призмы или цилиндра с эллиптическим основанием (125).
§ 52. Определение продольных перемещений (125).
§ 53. Сдвиги и крутящий момент (127).
§ 54. Поперечные перемещения (127).
§ 55. Давления, которые при этом возникают (128).
§ 56. Решение задачи определения перемещений по данным силам (129).
§ 57. Искривление сечения. Его влияние. Случай кругового сечения, когда искривление отсутствует (130).
§ 58. Практический случай (133).
§ 59. Кручение может иметь место только относительно оси призмы (138).
§ 60. Значительные перемещения, вызванные кручением (138).
§ 61. Наибольший сдвиг. Опасные точки (139).
§ 62. Сравнение с прежней теорией. Объяснение (140).
§ 63. Условие отсутствия разрушения или прочности сцепления (143).
Глава VII. Общие выражения для интегралов неопределенного уравнения и вытекающие отсюда выражения сдвигов и крутящего момента (145).
§ 64. Выражения в виде рядов показательных функций и синусов (145).
§ 65. Случай, когда сечение симметрично, а силы распределены симметрично по отношению к одной из двух осей у или z или по отношению к обеим осям (146).
§ 66. Целое многочленное выражение. Его запись в полярных координатах и распространение на произвольные показатели степени (148).
§ 67. Члены ряда, исчезающие при симметричном сечении. Члены, исчезающие при сечении, одинаковом в обоих направлениях у и z (152).
Глава VIII. Кручение призмы с прямоугольным основанием (154).
§ 68. Состояние рассматриваемого вопроса (154).
§ 69. Неопределенные и определенные уравнения (156).
§ 70. Решение этих уравнений (158).
§ 71. Сдвиги. Проверка (162).
§ 72. Касательные давления. Крутящий момент. Нормальные давления (163).
§ 73. Задача о перемещениях при заданных силах. Случай из практики (166).
§ 74. Первый пример. Случай, когда одна из сторон прямоугольника очень велика по сравнению с другой (167).
§ 75. Второй пример. Призма с основанием в виде квадрата (171).
§ 76. Искривленная поверхность сечений после кручения. Разрезы. Рельеф. Экспериментальное подтверждение (175).
§ 77. Крутящий момент для квадратной призмы (177).
§ 78. Экспериментальное подтверждение (178).
§ 79. Другой способ определения численного соотношения между сопротивлением квадратных призм и сопротивлением круговых цилиндров при одинаковом моменте инерции их оснований (182).
§ 80. Продолжение. Общее целое выражение крутящего момента для прямоугольной призмы (186).
§ 81. Относительные сдвиги волокон призмы с квадратным сечением (188).
§ 82. Опасные точки. Наибольший сдвиг (192).
§ 83. Условие прочности квадратной призмы. Экспериментальное подтверждение (194).
§ 84. Случай любого соотношения между двумя измерениями основания. Вычисление u при b/c = 2. Границы случаев, когда искривленное сечение делится на четыре или на восемь частей (196).
§ 85. Крутящий момент для прямоугольных призм (199).
§ 86. Сравнение с опытными данными (202).
§ 87. Относительные сдвиги волокон для прямоугольных сечений. Наибольшие сдвиги для точек каждой из их сторон (205).
§ 88. Опасная точка, в которой имеет место наибольший сдвиг. Опыты (209).
§ 89. Уравнение отсутствия разрушения или прочности сцепления скрученной призмы. Наибольшие сдвиги (212).
Глава IX. Кручение призм с другими основаниями, не в виде эллипса или прямоугольника (215).
§ 90. Бесконечность числа видов уравнения контура сечения и выражений для продольного перемещения u (215).
§ 91. Трансцендентные и алгебраические виды выражения u (217).
§ 92. Симметричные алгебраические кривые. Кривые, одинаковые в двух направлениях (220).
§ 93. Способы, с помощью которых уравнениям придают определенную форму и делают их однородными (221).
§ 94. Симметричные и равные замкнутые кривые четвертой степени (223).
§ 95. Нахождение этих кривых (225).
§ 96. Кривые восьмой степени, симметричные и одинаковые в двух направлениях (228).
§ 97. Условия, при которых эти кривые замкнуты (231).
§ 98. Кривые восьмой степени, у которых наименьший диаметр равен половине наибольшего (233).
§ 99. Кривые, представленные уравнениями, в которых радиус-вектор имеет отрицательные показатели степени. Кривые двенадцатой и шестнадцатой степеней и т.д. (236).
§ 100. Сдвиги и крутящий момент в призмах, имеющих основания в виде кривых четвертой и восьмой степеней (238).
§ 101. Вычисление крутящих моментов. Ничтожность влияния выступов сечения или ребер призм (241).
§ 102. Топографические разрезы и рельеф искривленных поверхностей, в которые превращаются сечения (244).
§ 103. Сдвиги, опасные точки и условия прочности для криволинейных квадратов четвертой степени (246).
§ 104. Те же сдвиги и т.д. для криволинейного основания восьмой степени с выступающими ребрами (251).
§ 105. Контуры, неодинаковые относительно осей y и z. Несимметричные контуры. Призма с основанием в виде равностороннего треугольника. Заключение к главе (253).
Глава X. Случаи, когда упругость при сдвиге неодинакова в направлениях двух поперечных осей (260).
§ 106. Общие уравнения для продольного перемещения (260).
§ 107. Применение формул в случае эллиптического цилиндра или призмы. Частный случай, когда длина осей пропорциональна корням квадратным из упругостей при сдвиге в направлениях этих осей (261).
§ 108. Продолжение. Условие прочности для такой же эллиптической призмы с неодинаковой упругостью (262).
§ 109. Изменения в общих выражениях интегралов неопределенного уравнения главы VII, когда упругость при сдвиге неодинакова (264).
§110. Прямоугольная призма с неодинаковой упругостью. Перемещения. Сдвиги. Крутящий момент (267).
§ 111. Случай, когда c√G' очень мало сравнительно с b√G'' (269).
§ 112. Случай, когда b/c =√ G'/G'' (270).
§ 113. Общий случай, когда стороны 2b, 2c прямоугольника с неодинаковой упругостью находятся между собой в любом соотношении (272).
§ 114. Призмы с другими основаниями (кроме эллипса и прямоугольника), аналогичными рассмотренным в главе IX (275).
§ 115. Нормальность сечений, ставших искривленными, к ребрам, превратившимся в спирали (277).
Глава XI. О кручении полых призм (279).
§ 116. Полая эллиптическая призма (279).
§ 117. Полая прямоугольная призма (281).
§ 118. Полые призмы с другими основаниями (283).
Глава XII. Случай одновременного кручения, изгиба, удлинений и поперечных сдвигов. Условия прочности при их одновременном воздействии (286).
§ 119. Определение перемещений. Самое простое геометрическое сложение перемещений, вызванных различного рода усилиями (286).
§ 120. Наложение перемещений, вызванных силами, производящими одновременно растяжение, изгиб и кручение призмы (289).
§ 121. Общие условия прочности при различных воздействиях (291).
§ 122. Более частные и более простые условия (293).
§ 123. Простой и непосредственный вывод этих формул (296).
§ 124. Формулы сопротивления в случае замены удлинений и сдвигов их выражениями через внешние силы, действующие на тело (298).
§ 125. Видоизменения, касающиеся сдвигов, для некоторых особых сечений (302).
§ 126. Первое применение. Призма, испытывающая одновременно изгиб и поперечный сдвиг. Случай, когда наиболее подверженное опасности сечение может изгибаться (304).
§ 127. Та же призма. Случай, когда наиболее подверженное опасности сечение вынуждено оставаться плоским. Сомнительный случай (306).
§ 128. Цилиндр с круговым основанием, одновременно изгибаемый, скручиваемый и растягиваемый (311).
§ 129. Вращающийся вал, изгибаемый и скручиваемый посредством двух шестерен или двух приводных ремней. Консоль переменного диаметра, удовлетворяющая условию равного сопротивления (315).
§ 130. Прямоугольная призма, одновременно изогнутая и скрученная. Общие формулы (318).
§ 131. Та же прямоугольная призма. Случай ее изгибания в плоскости наиболее легкого изгиба, т.е. в плоскости, параллельной наименьшим сторонам 2с (см. §133) (322).
§ 132. Призма с квадратным основанием, изогнутая в любой плоскости и одновременно скрученная (324).
§ 133. Призма с прямоугольным основанием, одна из сторон которого вдвое "больше другой, изогнутая в любой плоскости, параллельной или наклоненной к ее граням, и одновременно скрученная (324).
§ 134. Одновременный изгиб и кручение призм с другими основаниями (кроме круга и прямоугольника). Эллиптический цилиндр (330).
Глава XIII. Резюме этого мемуара, краткое повторение формул и практические правила, численные примеры (337).
§ 135. Общее резюме (337).
§ 136. Краткое повторение формул и практические правила (344).
§ 137. Числовые примеры (369).
§ 138. Таблица, относящаяся к кручению прямоугольных призм (376).
МЕМУАР ОБ ИЗГИБЕ ПРИЗМ, о поперечных и продольных сдвигах, которые ему сопутствуют, когда изгиб не происходит равномерно или по дуге окружности, а также об искривлении первоначально плоских поперечных сечений
§ 1. Прежние исследования по теории изгиба (381).
§ 2. Принятая в настоящее время теория изгиба, вызванного неравномерным продольным растяжением волокон. Гипотезы, на которых она обычно основывается. Ненужность этих гипотез ввиду их неточности для вывода формул (385).
§ 3. Предмет и краткое содержание этого мемуара (390).
§ 4. Краткое разъяснение формул давлений внутри твердых упругих тел. Зависимости между давлениями в различных направлениях в одной точке (393).
§ 5. Продолжение. Удлинения, сдвиги. Линейные выражения для составляющих давления (395).
§ 6. Продолжение. Притяжения и отталкивания, функции молекулярных расстояний. Теорема геометрического сложения сил и малых перемещений (396).
§ 7. Продолжение. Число существенно различных коэффициентов. Его сокращение с тридцати шести до пятнадцати (398).
§ 8. Продолжение. Изменения осей и плоскостей, относительно которых рассматривают давления, удлинения и сдвиги (401).
§ 9. Упрощение формул для составляющих давления в случае тел с различным строением (404).
§ 10. Неопределенные дифференциальные уравнения равновесия упругих твердых тел. Выражения удлинений и сдвигов через очень малые перемещения (408).
§ 11. Определенные уравнения, удовлетворяющиеся только в точках поверхности (411).
§ 12. Применение этих формул к растяжению призмы. Сопровождающие его поперечные сжатия. Коэффициент упругости (412).
§ 13. Применение общих формул Пуассоном и Коши для приближенного решения задачи изгиба (415).
§ 14. Принятые условия и уравнения нашей задачи о неравномерном изгибе призм (420).
§ 15. Первые следствия заданных условий и соотношений (423).
§ 16. Первое интегрирование (425).
§ 17. Распределение сил. Обстоятельства, сопровождающие неравномерный изгиб. Наклон и кривизна сечений. Взаимный наклон волокон. Полная стрела прогиба (429).
§ 18. Кривые контуров сечений, для которых произвольная функция F полностью определяется через y и z. Эллиптический контур и т.д. (431).
§ 19. Способ приложения и распределения внешних сил, уточняющий для различных контуров обычные формулы изгиба, вызванного продольными удлинениями. Значения величины центрального наклона g0. Сечения эллиптические, круговые, в виде ложного эллипса и т.д. (440).
§ 20. Те же контуры. Полная стрела прогиба при изгибе (445).
§ 21. Те же контуры. Искривленные поверхности, образованные первоначально плоскими сечениями. Их обычная топография (446).
§ 22. Продолжение. Случай, когда каждая искривленная поверхность сечений является общей для бесконечного числа контуров (450).
§ 23. Подробное изложение вопроса для различных сечений. Окружность. Ложный эллипс (овал). Сечения с контуром девятой степени, которые искривляются точно по цилиндрической поверхности с основанием в виде кривой третьей степени, имеющей форму гуська (451).
§ 24. Прямоугольная призма. Преобразование неопределенных и определенных условий (455).
§ 25. Интегрирование с помощью трансцендентного ряда (456).
§ 26. Выражения для перемещений точек прямоугольной призмы (461).
§ 27. Давления рxy, рxz. Проверка полученных результатов (462).
§ 28. Центральный сдвиг. Изогнутая ось. Стрела прогиба при изгибе (464).
§ 29. Искривленная поверхность, образованная первоначально плоскими прямоугольными поперечными сечениями (466).
§ 30. Сечения произвольной формы (470).
§31. Непосредственное доказательство известных формул изгиба призм, вызванного только их продольными удлинениями (473).
§ 32. Заключение. Общий обзор для случая, когда способ приложения и распределения внешних сил на концах призмы отличен от способа, дающего совершенно точные формулы в соответствии со смешанным методом (492).
ПЕРЕЧЕНЬ ТРУДОВ Б.СЕН-ВЕНАНА. ЛИТЕРАТУРА О Б.СЕН-ВЕНАНЕ И ЕГО ТРУДАХ
Перечень трудов Б.Сен-Венана (497).
Работы, выполненные Сен-Венаном совместно с другими авторами (505).
Отзывы о работах, представленных в академию наук различными авторами (505).
Посмертные издания трудов Б.Сен-Венана (507).
Литература о Б.Сен-Венане и его трудах (508).
