От издательства: В этой книге помещены знаменитая докторская диссертация гениального русского ученого Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованная в издании Харьковского математического общества в 1892 г., и три статьи А.М.Ляпунова, в известной мере дополняющие диссертацию. Диссертация и статьи написаны Ляпуновым больше, чем пятьдесят лет тому назад. Однако только в последние двадцать лет выявилась та огромная роль, которую имеют исследования Ляпунова для современной техники.
Текст диссертации А.М.Ляпунова воспроизводится без изменений; внесены лишь те исправления, которые были указаны самим А.М.Ляпуновым в статье «К вопросу об устойчивости движения». Кроме того, названия параграфов, данные А.М.Ляпуновым только в оглавлении, вставлены также в текст книги. Аналогичным образом без изменения воспроизводится и текст статей.
В конце книги помещены небольшие примечания к тексту А.М.Ляпунова, сделанные членом-корреспондентом Академии наук СССР Н.Г.Четаевым. Ссылки на эти примечания даны в тексте в квадратных скобках.
Спойлер
СОДЕРЖАНИЕ:
От издательства
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ.
Предисловие (9).
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
Постановка вопроса.
1. Общая постановка задачи. Определение устойчивости (17).
2. Общий вид исследуемых дифференциальных уравнений возмущенного движения (21).
3. Интегрирование посредством рядов, расположенных по степеням постоянных произвольных (24).
4. Исследование сходимости рядов в случае, когда за постоянные произвольные принимаются начальные значения искомых функций (28).
5. Более определенная постановка задачи. Движения установившиеся и периодические. Две категории способов исследования устойчивости (34).
О некоторых системах линейных дифференциальных уравнений.
6. Характеристичные числа функций (36).
7. Характеристичные числа решений линейных дифференциальных уравнений (44).
8. Нормальные системы решений (48).
9. Правильные и неправильные системы уравнений (53).
10. Приводимые системы уравнений (59).
О некотором общем случае дифференциальных уравнений возмущенного движения.
11. Определение некоторого нового типа рядов, расположенных по степеням постоянных произвольных (62).
12. Теорема о сходимости рядов (66).
13. Вытекающие из теоремы о сходимости заключения об устойчивости (73).
Некоторые общие предложения.
14. Общие замечания о функциях, определяемых дифференциальными уравнениями возмущенного движения (77).
15. Некоторые определения (79).
16. Основные предложения (82).
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
О линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами.
17. Определяющее уравнение. Типы решений, соответствующие простым и кратным корням его. Группы, решений (95).
18. Линейное преобразование дифференциальных уравнений к некоторому простейшему виду (97).
19. Производные определители и уравнения, получаемые приравниванием их нулю (101).
20. О целых однородных функциях, удовлетворяющих некоторым линейным уравнениям с частными производными (100).
21. О канонических системах линейных дифференциальных уравнений (109).
Исследование дифференциальных уравнений возмущенного движения.
22. Интегрирование посредством рядов, расположенных по степеням произвольных постоянных (117).
23. Теорема о сходимости рядов, выводимая из теоремы §12 (122).
24. Теоремы об условиях устойчивости и неустойчивости, доставляемых первым приближением (127).
25. Условие неустойчивости равновесия при существовании силовой функции (131).
26. Новое доказательство предложений §24. Общая теорема о неустойчивости (134).
27. Особенные случаи, в которых рассмотрение одного первого приближения недостаточно. Определение тех из них, которые составляют предмет дальнейшего исследования (137).
1-й случай: определяющее уразнение с одним равным нулю корнем.
28. Приведение дифференциальных уравнений к некоторому характерному виду. Случаи общий и особенный (140).
29. Исследование общего случая (145).
30. Некоторое вспомогательное предложение (152).
31. Исследование особенного случая (158).
32. Формулирование методы. Примеры (165).
2-й случай: определяющее уравнение с двумя чисто мнимыми корнями.
33. Общий вид, к которому приводятся дифференциальные уравнения (169).
34. Некоторые характерные ряды, формально удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Общий случай, когда ряды эти не суть периодические (174).
35. Особенный случай, когда ряды выходят периодические. Сходимость этих периодических рядов (180).
36. О периодических решениях (185).
37. Исследование общего случая (192).
38. Исследование особенного случая. Существование не зависящего от t голоморфного интеграла (197).
39. Некоторые частные случаи, в которых существование периодического решения или голоморфного интеграла может быть доказано (208).
40. Некоторые дополнения. Формулирование руководящего правила (217).
41. Примеры (227).
О периодических решениях дифференциальных уравнений возмущенного движения.
42. Доказательство сходимости некоторых периодических рядов, формально удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (240).
43. Определение периодических решений заданием начальных значений неизвестных функций. Введение этих значений в качестве постоянных произвольных (246).
44. Случай существования голоморфного интеграла (251).
45. О периодических решениях канонических уравнений (254).
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.
О линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами.
46. Характеристичное уравнение. Типы решений, соответствующие простым и кратным корням его. Группы решений (263).
47. Преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в уравнения с постоянными коэффициентами (269).
Некоторые предложения относительно характеристичного уравнения.
48. Общая теорема о разложении инвариантов в ряды по степеням некоторых параметров (273).
49. Приложение к одному дифференциальному уравнению второго порядка (276).
50. О виде характеристичного уравнения, обусловливаемом некоторыми функциональными свойствами коэффициентов в дифференциальных уравнениях (284).
51. О характеристичном уравнении канонической системы (289).
52. Некоторые особенные способы исследования характеристичного уравнения (295).
53. Приложение принципов теории функций комплексной переменной. Один случай, когда логарифмы корней характеристичного уравнения определяются алгебраически при помощи некоторых определенных интегралов (301).
Исследование дифференциальных уравнений возмущенного движения.
54. Интегрирование посредством рядов, расположенных по степеням постоянных произвольных (308).
55. Теоремы об условиях устойчивости и неустойчивости, доставляемых первым приближением. Особенные случаи. Определение тех из них, которые составляют предмет дальнейшего исследования (312).
1-й случай: характеристичное уравнение с одним равным единице корнем.
56. Приведение дифференциальных уравнений к некоторому характерному виду. Случаи общий и особенный (314).
57. Исследование общего случая (318).
58. Исследование особенного случая (322).
59. Изложение методы. Пример (323).
2-й случай: характеристичное уравнение с двумя мнимыми корнями, обладающими равными единице модулями.
60. Общий вид, к которому приводятся дифференциальные уравнения (327).
61. Некоторые характерные ряды, зависящие от двух аргументов. Общий случай, когда ряды эти не суть периодические (331).
62. Исследование общего случая (336).
63. Изложение методы. Пример (338).
64. Особенный случай. Представляемые им затруднения. Случай канонической системы второго порядка (347).
Некоторое обобщение.
65. Общий вид, к которому приводились дифференциальные уравнения в особенных случаях, рассмотренных раньше. Существование голоморфных интегралов с ограниченными коэффициентами. Заключения об устойчивости (351).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ.
К вопросу об устойчивости движения (363).
Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения (369).
О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть максимум (450).
Примечания (464).
