Геометрия, — так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.
Оглавление: П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса [7] ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ. Введение [55] Глава первая. Пять групп аксиом [56] § 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом [56] § 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности) [57] § 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка [58] § 4. Следствия из аксиом соединения и порядка [60] § 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности 66 § 6. Следствия из аксиом конгруентности [71] § 7. Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных [85] § 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности [87] Глава вторая. Непротиворечивость и взаимная независимость аксиом [92] § 9. Непротиворечивость аксиом [92] § 10. Независимость аксиомы о параллельных (неевклидова геометрия) [96] § 11. Независимость аксиом конгруентности [104] § 12. Независимость аксиом непрерывности (неархимедова геометрия) [106] Глава третья. Учение о пропорциях [111] § 13. Комплексные числовые системы [111] § 14. Доказательство теоремы Паскаля [114] § 15. Исчисление отрезков на основании теоремы Паскаля [120] § 16. Пропорции и теоремы о подобии [125] § 17. Уравнения прямых и плоскостей [127] Глава четвёртая. Учение о площадях на плоскости [131] § 18. Многоугольники, равновеликие по разложению и по дополнению [131] § 19. Параллелограммы и треугольники с равными основаниями и высотами [134] § 20. Мера площади треугольников и многоугольников [137] § 21. Равновеликость по дополнению и мера площади [142] Глава пятая. Теорема Дезарга [146] § 22. Теорема Дезарга и её доказательство на плоскости с помощью аксиом конгруентности [146] § 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без аксиом конгруентности [149] § 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга [151] § 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения в новом исчислении отрезков [154] § 26. Ассоциативный закон умножения и два дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков [157] § 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков [160] § 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система [162] § 29. Построение геометрии пространства с помощью числовой системы Дезарга [163] § 30. Значение теоремы Дезарга [167] Глава шестая. Теорема Паскаля [169] § 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля [169] § 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой системе [170] § 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе [172] § 34. Доказательство обоих предложений, касающихся теоремы Паскаля (непаскалева геометрия) [175] § 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теоремы Паскаля [176] Глава седьмая. Геометрические построения на основании аксиом I — IV [180] § 36. Геометрические построения с помощью линейки и эталона длины [180] § 37. Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины [184] Заключение [191] ДОБАВЛЕНИЯ К «ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ» Добавление I. О прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками [195] Добавление II. По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника [202] Добавление III. Новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского [229] Добавление IV. Об основаниях геометрии [248] Добавление V. О поверхностях постоянной гауссовой кривизны [304] Добавление VI. О понятии числа [315] Добавление VII. Об основаниях логики и арифметики [322] Добавление VIII. О бесконечном [338] Добавление IX. Обоснования математики [365] Добавление X. Проблемы обоснования математики [389] Примечания [403]
