Геометрические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в науке геометрическая сторона задачи большею частью заслоняется, затушевывается посторонними элементами, из которых ее необходимо выделить, прежде чем приступить к решению. Нередко уже одно такое обнажение геометрической основы реального задания почти равносильно его разрешению, нотому что приводит запутанный вопрос к ясной математической схеме. Но умение отыскивать в конкретной задаче ее геометрическую основу, переводить реальный вопрос на язык геометрии, требует особого навыка; и, конечно, он не может быть приобретен упражнением исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемых задачниками. Отсюда та геометрическая беспомощность, которая наблюдается у большинства изучавших геометрию, когда они сталкиваются с геометрическими задачами в жизненной практике: они не знают, как применить в конкретном случае свои вполне достаточные геометрические познания, а зачастую даже и не подозревают, что подлежащий разрешению вопрос есть задача геометрическая. Между тем, едва ли можно оспаривать, что умение прилагать свои математические иознания на практике, за пределами тетради и классной доски, есть один из существенных элементов математического развития и должно воспитываться школой. Каков бы ни был выбор теоретического материала для школьного курса геометрии, как бы ни распределялся он по концентрам, каким бы методом нн доводился до сознания учащихся, — необходимо чтобы они умели прилагать приобретенные теоретические познания
к разрешению реальных задач. Это может быть достигнуто лишь систематическим упражнением в решении задач с реальным содержанием, приближающихся по своей форме к тем, какие возникают в действительной жизнн. Отсюда — необходимость пополнить существующие сборники геометрических задач подбором упражнений особого рода, преследующих указанную цель.
Такого рода реальные задачи и преобладают в настоящем сборнике. В этом задачнике, преимущественно во вторых двух третях его, составитель стремился собрать возможно больше примеров разнообразного применения геометрии в технике, естествознании, мироведении и обиходной жизни, преследуя попутно цель наглядно убедить в широкой и плодотворной приложимости даже весьма скромных геометрических познаний. О том, откуда почерпался материал для задач, можпо судить по имеющемуся в книге предметному указателю. Многие задачи по внешнему выражению совсем не походят на привычный тип геометрических упражнений. Такие, например, задачи, как 324-я: «Почему передняя ось телегн больше стирается, нежели задняя?» илн 828-я: Два полных самовара, большой и малый, одинаковой формы, нагреты одинаково. Какой остынет скорее?», — могут с первого взгляда показаться попавшими в геометрический задачник по недоразумению. Однако, это по существу задачи геометрические, только не переведенные на условный язык математических схем, а взятые непосредственно в той форме, в какой они возникают в реальной жизни.
Элементарные технические задачи сборника никаких специальных познаний от учащегося не требуют. Числовой материал их сообразован с соответствующими «Урочными положениями». От намеренного подбора чисел, облегчающего выкладки, составитель во многих случаях воздерживался, так как искусственный подбор противоречит основной цели сборника — подготовит.» к решению задач в реальных условиях.
В связи с такой тенденцией сборника, некоторые отделы в нем разработаны подробнее общепринятого масштаба. Это прежде всего относится к главе X — «Длина окружности»: здесь, помимо задач обычного типа, имеются особые параграфы и соответствующие упражнения, относящиеся к расчету ременной и зубчатой передачи и к работе токарного станка, как примеры технического применения геометрических знаний, — а также задачи на вычисление угла зрения или угловой величины предметов, в виду исключительно важного общеобразовательного значения этих понятий. Больше обычного уделено внимания отношению поверхностей и объемов подобных тел, — роду задач, весьма часто возникающих на практике н разрешаемых в обиходной жнзни неправильно. — Составитель, однако, вовсе не предлагает пользующимся книгой проделывать нодряд все ее упражнения. Едва ли найдется такой состав учащихся, которому были бы знакомы все отделы техники и общего знания, затрагиваемые в задачах сборника. Разнообразный подбор предлагается именно для того, чтобы преподаватель мог черпать из него упражнения, относящиеся к знакомым учащимся предметам, пропуская остальные *).
Имея в виду, что прохождение геометрии нередко опережает изучение алгебры, составитель стремился сделать настоящий задачник,, пригодным, между прочим, и для таких учащихся, которые либо вовсе не изучали еще алгебры, либо знакомы лишь с ее начальными основаниями. Однако, сборник на-ряду с этим пригоден, конечно, и для более сведущих учащихся.
Так как настоящий сборник имеет, между прочим, в виду учащихся, незнакомых с алгеброй, то для извлечения квадратного корня в пем указан «способ деления» (иначе называемый забвению. Кроме того, приложены таблицы квадратных (и кубических) корней для чисел от 1 до 1000 и объяснен способ пользования ими.
*) Подробнее о задачах с реальным содержанием при преподавании геометрии — см. книгу «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений». Госуд. Издательство.
«способом двух средних») — старинный Геронов прием, достаточно быстро ведущий к цели и незаслуженно преданный
Для ускорения выкладок рекомендуется при решении многих задач пользоваться приемами приближенных вычислений с числами, близкими к единице, по следующим формулам (в которых а — небольшая дробь):
............
Формулы эти обосновываются в «Задачнике» геометрически и, для прочного усвоения, иллюстрируются числовыми упражнениями.
Кроме задач в собственном смысле слова, в сборник включены упражнения,имеющие характер практических работ (черчение графиков и т. п.). Такие упражнения выделены особо в конце отделов. Их дополняют «Темы практических работ — параграфы, содержащие краткий перечень тем, разработка которых предоставляется преподавателю в зависимости от условий и обстановки занятий. — Ради оживления интереса к занятиям, среди прочих упражнений рассеяно несколько десятков задач исторических — из истории математики, — литературных *), а также задач, любопытных по сюжету или неожиданных по результату.
*) Таких задач немного: из «Короля Лира» (407), «Скупого Рыцаря» (764), «Путешествия Гулливера» (824 и 825) и из рассказа Л. Толстого «Много ли человеку земли нужно?» (597).
Само собою разумеется, что наряду с задачами реального характера следует проделывать упражнения и формальные. Число подобных задач в настоящем сборнике невелико лишь потому, что составитель считал излишним увеличивать объем книги за счет материала, уже представленного во многих сбор-пиках задач по геометрии. (По той же причине мало включалось и задач на построение). Упражнения настоящего сборника предназначаются лишь как пополнение обычного материала, а не взамен его.
Ограниченность технических и общенаучных знаний, которые задачник подобного типа в праве предполагать у учащегося, до крайности затрудняла выбор материала для упражнений. При таких условиях и при почти полной новизне работы, едва ли удалось избежать увлечений и промахов. Они могли бы быть исправлены в последующих изданиях лишь при участии преподавателей, имевших случай пользоваться настоящей книгой. Все указания на этот счет будут приняты составителем с признательностью *).
*) Адрес для корреспонденции: Ленинград, Плуталова 2, кв. 12. Якову Исидоровичу Перельману.
Первое издание этой книги, вышедшее в начале декабря 1922 г., было значительно пополнено во втором издании (сентябрь
1923 г.). В третьем издании (август 1924 г.) проведена была лишь новая нумерация задач и чертежей. Настоящее, четвертое издание перепечатывается с предшествовавшего почти без изменений.
Я. П.
Апрель 1925.
